Struktur Aljabar Matematika Informatika

Contoh Soal Dan Pembahasan Struktur Aljabar

Matematika Infomatika

Kelompok 2

Anggota :

1.      ANDO PRATAMA WIBAWA (50415703)

2.      HETY NURBAETI (57415468)

3.      M FATHI FADHILLAH (53415926)

4.      MUHAMMAD AJI PRASETYO (54415474)

5.      RAHMA DEA LESTARI (55415551)

6.      RIZKY ESHA WAHYU UTAMA (56415182)

7.      SETYO BAYU AJI (56415497)

UNIVERSITAS GUNADARMA

1.)             A = {1,2,3,4}

 Apakah A termasuk dalam semigrup dalam operasi penjumlahan (A,+) ?

Jawab :

·         Tertutup :

Misal a=1 dan b=2
a*b =  a+b

        =  1+2 = 3     (tertutup)

·         Asosiatif : 

(a*b)*c =a*(b*c)

(1+2)+3 = 1+(2+3) 

             6 = 6          (asosiatif)

·           Karena Himpunan A bersifat Tertutup dan Asosiatif maka termasuk dalam Semigrup

2.)   Himpunan bil. Asli P didefinisikan operasi biner :

x*y = a+2b+ab

apakah (P,*) termasuk grup abel?

   Jawab :

·         Tertutup :

Misal a = 1 dan b =2
a*b =  a+b

        =  1+2 = 3             (tertutup)

·         Asosiatif : 

(a*b)*c =a*(b*c)

(a+2b+ab)*c = a+(b+2b+bc) 

a+2b+ab+c+(a+2b+ab)c = a+b+2b+bc+a(b+2b+bc)

a+2b+ab+c+ac+2bc+abc = a+b+2b+bc+ab+2ab+abc

a+2b+c+ab+ac+2bc+abc = a+3b+bc+3ab+abc                  (tidak asosiatif)

·         Karena Himpunan P tidak bersifat Asosiatif maka tidak termasuk dalam grup abel

3.)             Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: 

a * b = a + b + ab 

Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup. 

Jawab :

1.    Tertutup

Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka 

a * b = a + b + ab * N. 

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *. 

2. Assosiatif

Ambil sebarang a, b, c * N, maka 

(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + ab

a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc 

Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku 

(a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup. 

Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel. 

4.)      Tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

     Jawab :

H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga H Í G.

Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :

Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 2, 3 Î H

didapat : 2 + 3 = 5

5 ÎG tetapi 5 ÏH, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)

Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

5.)               M = { bilangan bulat}

M = b + a – 2a

Apakah (M,*) adalah semi grup?

Jawab:

Ø  Semi grup

    M = { bilangan bulat}

          M = { …, -2, -1, 0, 1, 2,…}

-          Tertutup
Misal a = 7; b = 3

M = a * b = b + a - 2a

                 = 3 + 7 - 2(7)

           = 10 - 14

           = -4

-          Asosiatif

      (a*b)*c = a*(b*c)

(b+a-2a)*c = a*(c+b-2b)

             r*c = a*s

        c+r-2r = s+a-2a

c +(b+a-2a)- 2(b + a-2a) = (c+b-2b)+ a-2a

           c+b+a-2b+2a- 4a = c+b-2b+a-2a

                                c-b-a= c-b-a

Kesimpulan : (M,*) merupakan semi grup karena memiliki kiteria tertutup & asosiatif

6.)   Ada sebuah notasi (R,%) dengan rumus “  ”. Jika R adalah bilangan bulat, apakah (R,%) adalah semi grup?

Jawab:

Kesimpulan: (R,%) bukan semi grup karena tidak memenuhi kriteria asosiatif—(c % d) % e dengan c % (d % e) berlawanan hasil

7.)   Operasi (R,*) berlaku untuk bilangan  Real dengan   a + b =  ab. Apakah termasuk semigrup?

Jawab :

·         Tertutup

a + b =  ab              a = 2   b = 5

        =   . 2 . 5

        = 5 (Termasuk Real, jadi tertutup)

·         Asosiatif

Kesimpulan : termasuk Semigrup

8.)     Operasi (S,-) berupa  a – b =  (a + b) berlaku untuk bilangan asli S. tentukan apakah (S,-) adalah monoid?

Jawab :

S = {bilangan asli}

Misal a = 5

          B =  6

a – b =  (a + b)

          =    (5 + 6)

          = 5,5 (tidak tertutup)

·         asosisatif

Kesimpulan : karena tidak tertutup, maka bukan monoid.

9.)    Himpunan bilangan asli dioperasikan kedalam (G,-) dengan a - b = a + b + 3.  Tentukan apakah termasuk kedalam grup?

Jawab :

G = { bilangan asli}

a - b = a + b + 3

·         Tertutup

misal a = 2   b = 3

a - b = a + b + 3

         = 2 + 3 + 3

         = 8  (Tertutup, karena merupakan bilangan asli)

·         Asosiatif

·         Identitas

a * e = a

2 * e = 2

      e = 1  (identitas, karena 1 merupakan bilangan asli)

·         Invers

a + a^-1= e

2 + a^-1= 1

      a^-1= 3

kesimpulan : termasuk grup

10.)   D = { 0 , 1}

Apakah D termasuk Grup dalam operasi penjumlahan?

Jawab :

·         Tertutup

a * b = a + b

         = 0 + 1

        = 1 ( Tertutup)

·         Asosiatif

( a + b ) + c = a + (b + c)

(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)

        2          =        2     (Asosiatif)

·         Identitas

a * e = a

1 + e = 1

       e = 1 

·         Invers

a + a^-1= e

1 + a^-1= 0

      a^-1= -1 (tidak sesuai)

kesimpulan : karena hanya memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif, dan Identitas saja, maka G termasuk Monoid.